AREA ENTRE DOS CURVAS

Recordemos que el desarrollo del Cálculo Integral se originó en parte para calcular el área bajo una curva.

El cálculo de áreas entre una curva dada por y=f(x) y el eje x en el intervalo [a,b] nos llevó a definir una sumatoria de Riemann y el área entre la curva y el eje horizontal se calculó tomando el límite de la suma de Riemann cuando n--->. Todo esto fue para f(x)>0 en [a,b].

En esta sección estudiaremos como calcular el área entre dos curvas.

El problema es el siguiente: Dadas dos funciones f y g , encontrar el área contenida entre sus gráficas en el intervalo [a,b] .

Para ilustrar el problema y el procedimiento, observa el siguiente ejemplo.

f(x)= 3x³ - x² - 10x	g(x)= - x² + 2x

Utilizaremos el mismo procedimiento que se usó para encontrar el área bajo una curva. Se aproximará el área entre las dos curvas haciendo una partición del intervalo [a,b] en n subintervalos de longitud (b-a)/n. En cada subintervalo escogemos un valor particular de x, al que llamaremos x*.

Evaluamos f(x*) y g(x*) y formamos rectángulos de base (b-a)/n y de altura f(x*)-g(x*) (si f(x*)>g(x*)).
El área de dicho rectángulo es (f(x*)-g(x*))((b-a)/n). Al sumar las áreas de los rectángulos obtenemos una aproximación al valor del área entre las curvas.
Tomando el límite cuando n--->Infinito obtendremos el valor exacto del área buscada.
Por definición, el límite de la sumatoria de Riemann es la integral definida de f(x)-g(x) en [a,b].
Si g(x)>f(x) en alguna parte del intervalo, entonces la altura de los rectángulos es g(x*)-f(x*).

En cualquier caso la altura de los rectángulos es |f-g| (valor absoluto de la diferencia).

Definición de área entre dos gráficas:: El área entre las gráficas de y=f(x) , y=g(x) en el intervalo [a,b] está dado por el valor de la Integral Definida de |f-g| en [a,b].

Enseguida se calculará el área de la región entre dos curvas.

Dentro del intervalo (-2,2), las curvas:
y=2(1-x²) y y=x²-1
se intersectan en x = -1, 1.

f(x)=2(1 - x²) ; g(x)=x²-1

El área entre las curvas en cada subintervalo es: {4, 4, 4}

Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado.

El área total entre las curvas es:
4 + 4 + 4 = 12

Dentro del intervalo (-1,1.5), las curvas:
y = -x^2/3+1 y y = x^2/3
se intersectan en x = 1.

f(x)= -x^2/3+1 ; g(x)=x^2/3-1

El área entre las curvas en cada subintervalo es: {1.6, 0.15867}

Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado.

El área total entre las curvas es: 1.6 + 0.15867 = 1.75867

Otros métodos: Rectángulos horizontales.

El procedimiento anterior depende de que, en cada intervalo de integración, la curva "de arriba" es la misma y la curva "de abajo" también. A continuación se muestra una situación en donde esto no se cumple. Observa las siguientes gráficas.

Observa que en el intervalo [-1,3] no se cumple que la curva "de arriba" sea la misma. En [-1,2] la curva de arriba es y=x-1 , mientras que en [2,3] la curva de arriba es y=(3-x)^1/2.

En la gráfica anterior dibujamos un rectángulo horizontal de base X₂ - X₁ y de altura y.

X₂es elvalor de x dado por la curva de la derecha (x=3-y²) y X₁ es el valor de x dado por la curva de la izquierda (x=y+1). En esta situación la curva de la derecha siempre es la misma y la curva de la izquierda también es la misma para todos los rectángulos horizontales desde y=-2 hasta y=1.

	y=1
Entonces el área entre las curvas es igual a		[3 - y² - (y+1)] dy
	y=-2

Si integramos con respecto a "y" la diferencia (3-y²) - (y+1) entre y=-2 hasta y=1, entonces encontramos que:

	9
Area entre las curvas =
	2