INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

En esta sección las identidades trigonométricas nos servirán para integrar ciertas combinaciones de funciones trigonométricas, además nos facilita al calculo de funciones racionales en el cual se nos facilitara mas aplicar dichas identidades. Comenzaremos con las potencias de seno y coseno.

$\int sen^{n}x*cos^{m}xdx$ o $\int sec^{n}x*tan^{m}xdx$

(En donde al menos uno de los exponentes, n o m es un entero positivo).

Para evaluar la integral trigonometrica

En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).
La identidad $sen^2x$ $+$ $cos^2x$ $=$ $1$ permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.

Tendremos 3 casos:

1. Cuando n es impar

Cuando $n=2k+1$ en la integral trigonemetrica \int sen^{n}x*cos^{m}xdx, podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad $sen^{2}x=1 - cos^{2}x$ para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:

Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo $u=cos(x)$ , $du= - sen(x)dx$ . Como en la expresion no tenemos un $- sen(x)dx$ multiplicamos ambos lados por $*(-1)$ y nos queda la expresión $-du= sen(x)dx$ que ya podemos sustituir:

2. Cuando m es impar

Cuando $m=2k+1$ en la integral trigonemetrica \int sen^{n}x*cos^{m}xdx, podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear $cos^{2}x =1 - sen^{2}x$ para poder expresar los factores restantes en términos del $senx$ :

al hacer $u=senx$ y $du= cosxdx$ tendríamos

3. Cuando m y n son pares

Cuando las potencias de la integral trigonemtrica \int sen^{n}x*cos^{m}xdx son pares a la vez $n= 2k$ y $m=2p$ , podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo $sen^{2}x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}cos2x$ -y- $cos^{2}x =\frac{1}{2} + \frac{1}{2}cos2x$ algunas veces nos sera útil utilizar la identidad $senx*cosx =\frac{1}{2}sen2x$

seria igual a:

Para evaluar

Se puede usar una estrategia similar a la anterior.

Puesto que:

$(\frac{d}{dx})tanx = sec^2x$ , se puede separar un factor $sec^2x$ y convertir la potencia restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la identidad $sec^2x = 1 + tan^2x$ .

O bien, puesto que:

$(\frac{d}{dx})secx = secx tanx$ , se puede separar un factor $secx tanx$ y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.

Tendremos 5 casos:

1. Cuando n es par

$n=2k$ separar un factor de $sec^{2}x$ y utilice $sec^{2}x=1 + tan^{2}x$ para lograr expresar los factores restantes en términos de $tanx$ :

de esta manera podemos hacer $u=tanx$ y $du=sec^{2}xdx$ y el integral quedaría así:

2. Cuando m es impar

$m=2k+1$ apartar un factor de $secx tanx$ y emplear $tan^{2}x = sec^{2}x - 1$ para poder expresar los factores que restan en términos de $secx$ :

de esta manera podemos hacer $u=secx$ y $du= secx*tanxdx$ y nos queda

3. \int tan^{2k}xdx

4. \int sec^{2k+1}xdx

Al encontrarnos con este caso debemos integrar por partes tal como se muestra en el ejemplo 8.

5. cuando no cabe en 1, 2, 3, 4

Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores deberemos trasladarlo a $senx$ y $cosx$ recordando que:

Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar identidades, integración por partes y, ocacionalmente, un poco de inventiva.

A veces será necesario poder integrar $tanx$ por medio de la fórmula establecida:

$\int tanx dx = ln |secx| + C$

Se necesitará también la integral indefinida de la secante:

$\int secx dx = ln |secx + tanx| + C$

Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o como sigue:

Primero se mutiplican numerador y denominador por $secx + tanx$ :

$\int secx dx = \int secx \frac{secx + tanx}{secx + tanx}dx$

$= \int \frac{sec^2x + secx tanx}{secx + tanx}dx$

Si se sustituye $u = secx + tanx$ , después $du = (secx tanx + sec^2x)dx$ , también, la integral se convierte en:

$\int (\frac{1}{u})du = ln |u| + C$

Así, se tiene:

$\int secx dx = ln |secx + tanx| + C$

NOTAPara integrales que contienen cosecantes y cotangentes, la estrategia es análoga a la del par secantes-tangentes. Recordar la identidad: $csc^{2}x=1 + cot^{2}x$

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES QUE LES SERVIRA DE MUCHA AYUDA

Identidades recíprocas

$cscx = \frac{1}{senx}$

$secx = \frac{1}{cosx}$

$cotx = \frac{1}{tanx}$

$tanx = \frac{senx}{cosx}$

$cotx = \frac{cosx}{senx}$

Identidades pitagóricas

$sen^2x + cos^2x = 1$

$tan^2x + 1 = sec^2x$

$1 + cot^2x = csc^2x$

Identidades de paridad

$sen (-x) = -senx$

$cos (-x) = cosx$

$tan (-x) = -tanx$

Ejemplos

Ejemplo #1

Evaluar

$\int \cos ^3x \; dx$

Solución La simple sustitución $u=cos x$ no va a servir pues $du=-sen x dx$ .

Para integrar potencias del coseno necesitaríamos un factor sen x extra. También una potencia del seno necesitaría un factor $\cos x$ de más. De modo que se puede separar un factor del coseno y convenir el que queda, es decir, $cos^2 x$ , en una expresión que contenga el seno por medio de la identidad $cos^2x+sen^2x=1$

$cos^3x=cos^2x*cosx= (1-sen^2x)cosx$

Es útil contar con el factor adicional, luego se evalúa la integral sustituyendo $u=sen x$ y $du= cos x dx$ , y

$\int cos^3x dx = \int cos^2x *cosx dx = \int (1-sen^2 x)cosx dx$

$=\int (1-u^2) du = u-\frac{1}{3}u^3 +C$

$= senx-\frac{1}{3}sen^3x + C$

En general trataremos de escribir un integrado que contenga potencias de seno y de coseno en una forma que contenga un solo factor de seno ( y lo restante de la expresión en términos de coseno) o bien un solo factor coseno ( y lo demás en términos de seno), la identidad $sen^2 +cos^2x=1$ nos permite convertir de potencias pares de seno a potencias pares de coseno e inversamente.

Ejemplo #2

Determine

$\int sen^5xcos^2x dx.$

Solución Podríamos convertir $cos^2x$ a $1-sen^2x$ pero nos quedaríamos con una expresión en términos de $sen x$ sin factor $cos x$ extra. En vez de eso, separamos un solo factor seno y reescribimos el factor $sen^4x$ restante en términos de $cos x$ :

$sen^5x cos^4 x=(sen^2x)^2 cos^2x sen x= (1-cos^2x)^2 cos^2xsenx$

Sustituyendo $u=cosx,$ , tenemos $du=-senx dx$ luego

$\int sen^5xcox^2x dx= \int sen^4 x cos^2x sen xdx$

$=\int (1-cos^2 x )^2cos^2x senx dx$

$=\int (1-u^2)^2u^2(-du)= -\int (u^2-2u^4+u^6)du$

$=-(\frac{u^3}{3})-2\frac{u^5}{5}+\frac{u^7}{7})+C$

$=-\frac{1}{3}cos^3x+\frac{2}{5}cos^5x-\frac{1}{7}cos^7x+C$

En los ejemplos anteriores una potencia impar del seno o el coseno nos permitió separa un factor simple y convertir la potencia complementaria. Si el integrando contiene potencias pares de seno tanto como de coseno esta estrategia falla. En este caso aprovechamos las identidades del ángulo mitad.

$sen^2x = \frac{1}{2}(1-cos2x)$ y $cos^2x =\frac{1}{2}(1-cos2x)$

Ejemplo #3

Evaluar

$\int_{0}^{\pi }sen^2 x dx$

Solución

Si escribimos $sen^2x dx=1-cos^2x$ , la integral no queda mejor. Pero usando la fórmula del ángulo mitad para $sen^2x$ , tenemos

$\int_{0}^{\pi }sen^2x dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi }(1-cos2x)dx =\left [ \frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}sen2x) \right ]_0 ^\pi$

$=\frac{1}{2}(\pi -\frac{1}{2}sen2\pi )-\frac{1}{2}(0-\frac{1}{2}sen0)=\frac{1}{2}\pi$

Observamos que, mentalmente, hicimos la sustitución $u=2x$ al integrar $cos 2x$ .

Ejemplo #4

Determine

$\int sen^4x dx$

Es posible evaluar esta integral con la fórmula de reducción para $\int sen^n xdx$ con el resultado del ejemplo 1, pero otro método es expresar $sen^4x = (sen^2 x)^2$ y aplicar la fórmula del ángulo mitad;

$\int sen^4zdx= \int (sen^2x)^2dx$

$=\int (\frac{1-cos2x}{2})^2 dx$

$=\frac{1}{4}\int (1ñ2cos2x+cos^22x)dx$

Ya que se representa con $cos^2 2x$ , debemos emplear otra fórmula de mitad de ángulo.

$cos^22x= \frac{1}{2}(1+cos4x)$

Con esto llegamos a

$\int sen^4x dx=\frac{1}{4}\int \left [1-2x+\frac{1}{2}(1+cos4x) \right ]dx$

$=\frac{1}{4}\int (\frac{3}{2}-2cos2x+\frac{1}{2}cos 4x)dx$

$=\frac{1}{4}(\frac{3}{2}x-sen 2x +\frac{1}{8} sen 4x)+C$

Como resumen, listamos los lineamientos a seguir al evaluar integrales de la forma $\int sen^m cos^nx dx$ donde $m\geq 0$ y $n\geq 0$ son enteros.

Cómo evaluar $\int sen^mxcos^nxdx$

(a) Si la potencia del coseno es impar (n=2k+1) , aparte un factor de coseno y emplee $cos^2x=1$ para expresar los factores restantes en términos del seno:

$\int sen^mxcos^2^k^+^1x dx=\int sen^mx(cos^2x)^kcosx dx$

=\int sen^mx(1-sen^2x)^kcosxdx

A continuación, sustituya $u=senx$

(b)Si la potencia sel seno es impar ( $m=2k+1$ , aparte un factor del seno y use $sen^2x=1-cos^2x$ para expresar los factores restantes en términos del coseno:

$\int sen^2^k^+^1xdx=\int (sen^2x)^k(cos^2x)^k cos^nxsenxdx$

$=\int (1-cos^2x)^kcos^nxsenxdx$

Luego, reemplace $u=cosx$ . Advierta que si las potencias de sen y de cos son ambas impares use (a) o (b)

(c)Si las potencias del seno y coseno son pares a la vez, aplicamos las identidades de mitad del ángulo:

$sen^2x=\frac{1}{2}(1-cos2x)$ $cos^2x=\frac{1}{2}(1+cos2x)$

A veces es útil emplear la identidad

$senxcosx=\frac{1}{2}sen2x$

Usaremos una estrategia similar para evaluar integrales de la forma $\int tan^mxsec^nxdx$ . Sabiendo que (d/dx) $tanx=sec^2x$ , podemos separar un factor $sec^2x$ y convertir la potencia restante (impar) de secante a una expresión que contiene tangente usando la identidad $sec^2x=1+tan^2x$ . O, ya que (d/dx) $secx=secxtanx$ , podemos separar un factor sec x tan x y convertir la potencia restante(par) de tangente a secante.

Ejemplo #5

Encontrar

$\int \cos ^{4}2x\sin ^{3}2xdx$

= $\int \cos ^{4}2x \sin ^{2}2x\sin 2xdx$

= $\int \cos ^{4}2x \left ( 1-\cos ^{2}2x \right )\sin 2xdx$

= $\int \cos ^{4}2x \sin 2xdx - \int \cos ^{6}2x\sin2xdx$

= $-\frac{1}{10}\cos ^{5}2x + \frac{1}{14}\cos ^{7}2x + C$

Ejemplo #6

Encuentre:

$\int \frac{\cos ^{5}x}{\sqrt{\sin ^{3}x}}dx$

Esta integral puede escribirse como:

$\int {\cos ^{5}x} {\sin ^{-\frac{3}{2}}x} dx$

Y en tal caso realizamos lo siguiente:

$\int {\cos ^{4}x} {\sin ^{-\frac{3}{2}}x} \cos x dx$

$\int (1 - {\sin ^{2}x})^2 {\sin ^{-\frac{3}{2}}x} \cos x dx$

Se procede a integrar por el método de sustitución tomando $u = \sin x$ y $du = \cos x dx$ :

$\int (1 - {u^{2}})^2 {u ^{-\frac{3}{2}}} du$

$\int (1 - 2{u^{2}} + {u^{4}})^2 {u ^{-\frac{3}{2}}} du$

$\int {u ^{-\frac{3}{2}}} - 2{u ^{\frac{1}{2}}} + {u ^{\frac{5}{2}}} du = -2{u ^{-\frac{1}{2}}} -\frac{4}{3}{u ^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{7}{u ^{\frac{7}{2}}} + C$

Se sustituye $u$ y obtenemos:

$\int \frac{\cos ^{5}x}{\sqrt{\sin ^{3}x}}dx = -2{\sin^{-\frac{1}{2}}x} -\frac{4}{3}{\sin ^{\frac{3}{2}}x} + \frac{2}{7}{\sin ^{\frac{7}{2}}x} + C$

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